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Dans ce projet, je vais vous présenter un algorithme de comptage de points de courbes elliptique sur des corps finis. Je me restreindrais à des corps finis $\mathbf{F}_{p}$ avec $p$ premier différent de 2 et 3. Pour c’est deux derniers cas, l’algorithme est sensiblement le même.

Contexte historique

Courbes elliptiques sur $\mathbf{F}_{p}$

Soit $\mathbf{F}_{p}$ un corps fini à $p$ éléments de caractéristiques $p\neq 2,3$.

Soit $E$ une courbe elliptique définie sur $\mathbf{F}_{p}$. On obtient l’équation affine de Weierstrass : $y^{2} = x^{3} + ax + b$ avec $a,b\in\mathbf{F}_{p}$ et $\Delta = -16(4a^{3} + 27b^{2}) \neq 0$.

1. Definition

Soit $\varPhi$ l’endomorphisme de Frobénius d’une courbe elliptique $E$ tel que
$\begin{array}{clcl} \varPhi : &E(\bar{\mathbf{F}_{p}}) &\longrightarrow &E(\bar{\mathbf{F}_{p}})\\ &(x, y) &\longmapsto &(x^{p}, y^{p}).\\ \end{array}$